Mathematical Logic & Algebraic structure

数学的黑洞

启发来源^1

理发师悖论，与罗素悖论

与排除自指的数学体系类型论

希尔伯特纲领

• 形式语言 公理，来建立数学。
  • 公理：约定俗成的命题，两点成一线 。算术的皮亚诺公理。
  • 形式语言：所有的句子变成符号: 存在任意量词 + 与或非 + 命题
• 完备性Completeness ，一致性Consistency ，可判断性 Decidability

形式语言

$$(\forall \varepsilon \gt 0)(\exist \delta \gt 0)(\forall x \in \R)(0 \gt |x-p|\gt\delta\Longrightarrow|f(x)-L|\lt\varepsilon)$$

哥德尔不完备定理

(即使排除了自指，还是不完备的)

数理逻辑 Mathematical logic

数理逻辑的奥秘在于，它试图将人类主观的推理思维过程客观化，并建立起主观推理与客观证明之间的联系。通过对形式语言的公理化来达到自然语言的公理化目标。

形式逻辑系统 与 一阶逻辑

• 形式逻辑系统 （Formal logical systems）是数理逻辑表示的方法。
• 一阶逻辑（英语：First-order logic），又称谓词逻辑（predicate logic）、量化逻辑（quantificational logic）、一阶谓词演算（first-order predicate calculus）[^2]
• 一阶逻辑在非逻辑对象上使用量化的变量，并且允许使用包含变量的句子，这样就可以有“存在x，使得x是苏格拉底并且x是人”形式的表达式，而不是像“苏格拉底是人”这样的命题，其中“存在”是一个量词，而x是一个变量。
• 意义：这将它与命题逻辑区分开来，命题逻辑不使用量词或关系; 在这个意义上，命题逻辑是一阶逻辑的基础。

逻辑推理

• 存在一个数 = 存在最小的

逻辑悖论导致的

• 毕导爱拖更”和“毕导不爱拖更”同时成立[^1]
• 因为“毕导爱拖更”为真 “毕导爱拖更”或“黎曼猜想成立”必为真
• “毕导爱拖更”、“黎曼猜想成立”至少有一个为真
• 又因为“毕导不爱拖更”为真 所以前半句不成立，故“黎曼猜想成立”为真，证毕。

基本概念

1. 逆否命题：命题 “如果 P，则 Q”，其逆否命题是 “如果 非Q，则 非P”。逆否命题等价于原命题，当且仅当原命题的结构为蕴含式（implication）形式，即 “如果 P，则 Q”的If-Then 结构
2. 存在量词与任意量词之间的转化：
   $$(\exist x \sim Hx) \iff (\sim \forall x Hx)$$
   $$(\sim \exist x Hx) \iff ( \forall x \sim Hx)$$

代数结构

在抽象代数里，代数结构（algebraic structure）是指装备了一个及以上的运算（最一般地，可以允许有无穷多个运算）的非空集合。一般研究的代数结构有群、环、域、格、模、域代数和向量空间等等。在数学中，更具体地说，在抽象代数中，代数结构是一个集合(称为载体集或底层集合)，它在它上定义了一个或多个满足公理的有限运算。

GPT

1. 群：

• 定义： 群是一个集合，其中有一个二元运算（通常是加法或乘法），满足封闭性（运算的结果仍在集合内）、结合律、存在单位元素（对于加法是0，对于乘法是1）和每个元素都有逆元素。
• 例子： 整数集合与加法形成一个群，因为整数的加法满足上述条件。

2. 环：

• 定义： 环是一个集合，其中有两个二元运算（通常是加法和乘法），满足封闭性、结合律、存在加法单位元素、存在加法逆元素、乘法分配律。
• 在环中，乘法逆元素对于0是未定义的。也就是说，在环中，存在一个乘法逆元素的元素不能为0。环的乘法可以有逆元素，但不要求对所有非零元素都有。
• 例子： 整数集合与加法和乘法形成一个环，因为整数的加法和乘法满足上述条件。

3. 域：

• 定义： 域也是一个集合，其中有两个二元运算（通常是加法和乘法），满足封闭性、结合律、存在加法和乘法单位元素、存在加法逆元素、存在乘法逆元素、乘法分配律。额外的，域要求乘法逆元素对于0是未定义的。
• 在域中，每个非零元素都必须有乘法逆元素。换句话说，对于域中的任何非零元素，都存在一个元素与之相乘得到域中的乘法单位元素（通常是1）。
• 域是环的一种特殊情况，区别在于域要求乘法逆元素对于所有非零元素都是定义的。
• 例子： 实数或复数集合与加法和乘法形成一个域，因为它们的加法和乘法满足上述条件。

简而言之，这些结构是数学中用来研究运算规则和性质的工具。在计算机学习中，这些抽象概念可以用来建模和解决各种问题，例如在优化算法、密码学、图形学等领域。如果有具体的问题或关注的方面，请告诉我，我将尽力提供更详细的解释。

需要进一步的研究学习

暂无

遇到的问题

暂无

开题缘由、总结、反思、吐槽~~

秋招，百度的高铁柱面试官说，定义问题是很关键的一件事。能不能形式化的定义。（我已经很久没有注意这件事了，确实很重要。

参考文献

[^2]: wiki First-order logic